di Alberto Giardini

Ogni giorno il gelatiere compie misurazioni di laboratorio, con l’ausilio di strumenti specifici: misurazioni di peso, di volume, di temperatura, di pH, ecc., il cui risultato è espresso da valori numerici, comodamente offerti, di solito, da strumenti elettronici.

A loro volta, le misurazioni possono essere la base di elaborazioni matematiche - ad esempio, per inventare o modificare ricette - e anche qui l’elettronica la fa da padrone.
Ma quando gli elettroni non sono guidati dai neuroni, si sa, ci portano fuori strada.
 

Poniamo il caso che, in sede di bilanciamento, ci servano g 100 di destrosio: cosa facciamo?
Semplice: versiamo tale zucchero sul piatto della bilancia (elettronica, manco a dirlo) poco per volta fino a quando questa indicherà il numero 100. Corretto, ovviamente, ma nascono due domande.
1 È proprio questo il peso “esatto” del nostro destrosio?
2 Possiamo usarlo, tal quale, nel calcolo del bilanciamento?
La risposta più plausibile al primo quesito è no, perché il risultato di una misurazione - di qualsivoglia misurazione - è sempre un’approssimazione, una stima.
Di conseguenza può essere illogico impiegare nel calcolo un numero stimato come se questo fosse un numero astratto, esatto.
Quando si maneggiano numeri derivati da misure bisognerebbe invece rispettare precise regole di calcolo, che cercherò di delucidare con alcuni esempi.

Alla ricerca del valore “esatto”
Iniziamo allora la nostra esperienza misurando il diametro di un bicchiere, prendiamo un righello e troviamo che il diametro è di cm 6,7 (6 centimetri e 7 decimi).
Questo numero significa, per convenzione, che la misurazione è stata fatta con l’approssimazione al decimo di centimetro e che il valore esatto è compreso tra cm 6,65 e un’inezia di meno di cm 6,75.
Se fosse infatti di cm 6,75 dovremmo dire, per la regola dell’approssimazione, che è di cm 6,8.
Ma se la stessa misura la ripetessimo con un calibro, troveremmo che il risultato è, per esempio, cm 6,67. Anche in questo caso, benché l’approssimazione sia migliore (al centesimo di centimetro), il significato del nostro responso è che il valore esatto della misurazione è compreso tra cm 6,665 e un’inezia di meno di cm 6,675.
A questo punto potremmo anche usare uno strumento ancor più sofisticato, come il micrometro digitale, ma saremmo consapevoli che l’ultima cifra indicata dallo strumento (ammesso che lo strumento stesso non commetta errori) è sempre e comunque un’approssimazione, cioè una stima.
In pratica, l’ultima cifra della misurazione stabilisce che le cifre che la precedono sono senz’altro esatte, per cui possiamo usarle con sicurezza nei calcoli.
Ma tale cifra non costituisce, essa stessa, un valore su cui poter fare affidamento, quindi, se versiamo una confezione di latte in un cilindro da laboratorio, graduato di 10 in 10 ml (millilitri o centimetri cubi), e diciamo che il volume è di 504 ml, sappiamo che le prime due cifre (5,0) sono esatte, mentre l’ultima (4) è una nostra stima, che dipende dalla bontà del nostro “occhio”, per cui non è una cifra assolutamente riproducibile.
La precisione di ogni misura ha come limite la sua riproducibilità (ripetibilità), che non è mai assoluta e talvolta la ripetibilità ha come limite la sensibilità dell’operatore, il “colpo d’occhio”.

Cifre significative
Naturalmente il discorso sulla precisione - o, se vogliamo, sull’incertezza del risultato - vale per qualsiasi tipo di misurazione analitica, ed è facile rendersi conto di quanto ciò sia vero se disponiamo di una serie di bilance di differente precisione d’indicazione.
Così, g 20 di neutro, “esattamente” pesati su una bilancia ordinaria (al grammo), diventano ad esempio g 20,4 su una bilancia più sofisticata, g 20,42 su una “bilancia tecnica” e ancora g 20,4248 su una “bilancia analitica”.
Nel primo caso abbiamo scritto un valore di 2 cifre significative (2, 0), nel secondo il valore è di 3 cifre significative (2, 0, 4), nell’ultimo il valore è di 6 cifre significative (2, 0, 4, 2, 4, 8). Una cifra relativa a una misura è detta cifra significativa quando è possibile valutarla con sufficiente riproducibilità.
Questo significa - lo ripeto - che se la bilancia indica g 20 (2 cifre significative), tale strumento è in grado di valutare, con sufficiente approssimazione, il grammo, ma che l’ultima cifra (lo zero, in questo caso) è comunque un’approssimazione, una stima. Quindi attenzione: se la bilancia che usiamo non è in grado di stimare il centigrammo, ma solo il grammo, bisogna riportare il succitato valore (ad esempio, scrivere tale valore nella tabella per effettuare calcoli di bilanciamento) come
g 20, non come g 20,0 o, ancor peggio, g 20,00!
Questa potrebbe sembrare una questione di lana caprina, ma non lo è affatto, ed è importante rendersene conto, sia per effettuare calcoli matematici corretti (somme, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni, i cui risultati devono essere scritti in base alla significatività delle cifre di partenza) e sia, se vogliamo, per le implicazioni legali… (a cui in seguito accennerò).

Attenti: 2,0 x 3 non fa 6!
Care vecchie tabelline delle elementari: 2 x 1 = 2; 2 x 2 = 4; 54 : 9 = 6..... Giusto? Come no, giustissimo, se però i numeri si usano nel modo giusto. Infatti l’aritmetica è scienza esatta, ma la sua applicazione può essere sbagliata.
Infatti, se ci pensiamo, 1 + 1 = 2 è un’aritmetica da pallottoliere: esatta perché tutte le palline del pallottoliere sono uguali.
Ma un cavallo più un cavallo fanno due cavalli solo se i due cavalli sono cloni… Però se attacchiamo alla carrozza un cavallo bretone, poi vi aggiungiamo un pony, la somma della potenza (cioè, 1 cavallo + 1 cavallo = 2 cavalli) non torna affatto.
Ma rientriamo nel nostro laboratorio e supponiamo di avere bisogno di g 5000 di saccarosio, mentre di-sponiamo di una bilancia da g 1000 (1 kg), che ha una precisione al decagrammo (la scala di misura va di 10 in 10 grammi).
Per risolvere il problema pesiamo per 5 volte consecutive g 1000 di saccarosio e… ne avremo esattamente g 5000,00. Giusto?
No, sappiamo già che è sbagliato, infatti non otterremo in totale grammi 5.000,00 di saccarosio, e nemmeno g 5000,0 ma g 5000.
O meglio, un peso vicino a g 5000, perché le ultime due cifre sono incerte (bisognerebbe scrivere tale numero in modo scientifico: 5,0 x 103, perché in questo modo si dice che le 2 prime cifre significative, 5 e 0, sono certe, mentre la moltiplicazione per 103, cioè per 1000, indica un ordine di grandezza, quindi un’approssimazione, ma non una certezza). D’altra parte, è vero che se incassiamo 7 banconote da 100 euro significa che incassiamo euro 700,00. Infatti la banconota ha, per sua natura, un valore assolutamente esatto: 100 euro sono anche 100,0 euro, 100,00 euro, 100,000 euro… Ma la nostra bilancia è soggetta alla regola dell’approssimazione! I nostri 1000 grammi, se lo strumento ha la precisione al decagrammo, equivalgono a un peso che può variare da g 9.995 a quasi g 1.005.
Noi non conosciamo il peso esatto del nostro saccarosio, ma sappiamo che, con l’approssimazione del decagrammo, 5 pesate da circa 1.000 equivalgono (approssimativamente) a un peso totale di 5.000.
Scrivere 5000,0 è dichiarare il falso, perché sottintende un’approssimazione al decigrammo, e scrivere grammi 500,00 significa che l’approssimazione è al centigrammo.
Ora andiamo avanti, e proviamo a sommare tre pesate con la stessa bilancia, che ha la precisione del decagrammo (10 grammi), per calcolare il peso medio. Ad esempio: (990 + 940 + 960) : 3 = 2890 : 3 = 963,33... È questo il valore medio delle tre pesate? No, perché la nostra bilancia va di 10 in 10, per cui il risultato - che è più vicino a 960 che a 970 - dobbiamo arrotondarlo a 960. Un altro esempio.
Per formulare una ricetta di gelato alla nocciola, sommiamo le pesate ottenute separatamente con la bilancia “N°1”, al decagrammo (10 g), e con la bilancia “N° 2”, al decigrammo (0,1 g), come indicato in tabella. Calcoliamo il totale tal quale (come viene spontaneo di fare) e il totale con arrotondamento, sulla base della precisione di ogni bilancia.



Di primo acchito il totale di sinistra (1565,0) ci sembra il più corretto, perché sembra più “preciso”.
Ma bisogna riflettere sul fatto che i nostri valori non sono certo numeri astratti: sono invece stime, compiute da strumenti elettronici (o meglio, da sensori elettronici).
Per la regola dell’approssimazione numerica occorre quindi arrotondare tutti i numeri alla precisione dello strumento meno preciso, per cui, come si vede, la somma corretta è g 1570.
Il totale di sinistra sarebbe del tutto corretto se avessimo usato una bilancia al decigrammo in tutte le pesate. Ovviamente, le percentuali degli ingredienti, se proviamo a calcolarle, risultano un po’ diverse nel primo e nel secondo caso.
Ma tant’è. Il ragionamento si capisce forse meglio con un ultimo esempio “estremo”.
Immaginiamo di dover sommare 5 sacchi di noci con 3 noci. Qual è il totale? Dire che è di 5 sacchi e 3 noci sarebbe ridicolo, dato che il “sacco” è una unità di misura ottenuta con uno strumento di misura impreciso - il sacco, appunto - nella quale una noce in più o in meno “balla”, ovvero non conta nulla...
Quindi il totale correttamente indicato è di 5 sacchi. Se però si potesse usare un sacco speciale, un sacco “di precisione” che contiene per l’esattezza 2000 noci, allora calcolare un totale di 10.003 noci sarebbe la cosa più sensata di questo mondo.

Le implicazioni legali
Tornando a discutere dell’importanza reale delle cifre significative, immaginiamo ora che il limite legale di un’ipotetica sostanza inquinante, “X”, nell’ipotetico alimento “gelato”, sia fissato in 0,2 mg/Kg: ebbene, tale limite sarebbe considerato senz’altro invalicabile dal “buon senso” comune (ammesso che il buon senso esista!). Immaginiamo allora di scoprire, grazie a uno strumento più sofisticato del solito, che nel nostro gelato il contenuto di “X” sia 0,201 mg/Kg.
Ciò significa forse che il gelato non è conforme ai requisiti di legge?
In realtà il limite legale, di 0,2 mg/Kg (cioè 2 x 10–1 mg/kg), è un valore con una cifra significativa (lo zero davanti alla virgola non conta, ovviamente) ed è diverso dal valore 0,20 (2 cifre significative), come è diverso dal valore 0,200 (3 c.s.). Dal punto di vista tecnico è quindi corretto pensare che persino un valore di “X” pari a 0,249 rientra perfettamente nel limite previsto dalla legge (0,2), perché, tenendo conto di una cifra significativa, è più prossimo a 0,2 che non a 0,3. Ma dal punto di vista di qualche solerte magistrato questo criterio (scientifico) potrebbe essere considerato un’arbitraria elevazione del limite legale. Già, ma gli avvocati, che costano sempre una cifra...significativa, serviranno pure a qualcosa, o no?

Errare è umano, e perseverare?
Un altro aspetto interessante, in tema di misurazioni, è quello che gli statistici chiamano “errore”.
Perseverare nell’errore, in tema di misurazioni, può essere diabolico o meno, perché dipende dal tipo d’errore. Proviamo infatti a ripetere dieci volte la misurazione, in millimetri, della lunghezza del tavolo, con lo stesso righello: certamente otterremo qualche misura (se non tutte) diversa dall’altra. E la probabilità di ottenere valori discordanti aumenta se ad ogni determinazione cambiamo lo strumento di misura, e aumenta ancora di più se l’esecuzione di ogni misurazione viene affidata a un operatore diverso.
Tra tutti i valori trovati, quale sarà quello più vicino al giusto?
Qui sta il busillis. Certamente esistono tre tipi di errore:
1 gli errori grossolani, dovuti a disattenzioni, scorrettezze, ecc. (la qualità del lavoro di operatori diversi può essere molto diversa);
2 gli errori sistematici, vale a dire gli scostamenti dal valore esatto che sono sempre diretti nello stesso senso (ad esempio, dovuti al righello che fornisce sempre risultati di 2 mm superiori al valore esatto);
3 gli errori accidentali, che sono quelle fluttuazioni, rispetto al valore esatto, che si manifestano casualmente, sia nel segno (in più o in meno) che nell’intensità (grandezza).
Ad esempio, errori accidentali sono quelli dovuti a una bilancia “ballerina”, che fornisce valori talvolta superiori e talvolta inferiori di 1, 2 o più grammi rispetto a quello esatto; oppure sono quelli dell’operatore, che in giorni diversi, in condizioni diverse, ecc. può fornire prestazioni più o meno buone.
Comunque, se gli errori grossolani e gli errori sistematici si possono evidenziare, e quindi si possono rimuovere o correggere, gli errori accidentali, cioè aleatori, sono nettamente più subdoli e insidiosi, e quindi non si possono eliminare, se non ripetendo diverse volte la stessa misurazione e applicando i metodi della statistica.

GLOSSARIO DELL’ELETTRONICA
Per finire, chiarisco alcuni termini che tipicamente riguardano invece le misurazioni effettuate con strumenti elettronici, per cui la rilevazione del valore è fatta da sensori elettronici.
Accuratezza: è lo scostamento tra il valore indicato dallo strumento (output) e il valore vero della misura (input).
Drift (deviazione): è un cambiamento di lettura dello strumento nel tempo (ad esempio, un cambiamento della lettura della stessa precisa pesata).
Segnale di errore: è la differenza tra il punto di regolazione (set point) e il valore indicato dallo strumento (ad esempio, un pH-metro indica 7,1 misurando una soluzione di taratura a pH 7,0 a 20°C).
Isteresi: è la differenza in lettura ottenuta quando uno strumento approccia il segnale in direzione opposta (ad esempio il peso di g 1000 rilevato prima aggiungendo materiale sul piatto vuoto della bilancia, poi sottraendo materiale dal piatto pieno, può denotare un’isteresi, cioè una differenza: per evidenziare l’effettiva presenza di isteresi, basta ripesare le due suddette pesate separatamente).
Offset (deviazione iniziale): è la lettura dello strumento prima di effettuare la misurazione (ad esempio, una bilancia col piatto vuoto dovrebbe indicare il valore 0: se indica invece –1 occorre “settare” la lettura aggiungendo 1).
Precisione: il limite entro il quale un segnale può essere letto dallo strumento (ad esempio, per un pH-metro, il limite del segnale può essere 0,1 pH, oppure 0,01 pH, ecc.).
Range (campo di lettura): il valore inferiore e superiore che lo strumento può misurare (ad esempio, per un termometro con scala da –10 a +50°C, il range è 60°C).
Ripetibilità (riproducibilità): una valutazione dell’accordo tra una serie di letture ripetute della stessa misura (ad esempio, se la ripetibilità è buona, 5 ripetizioni della stessa pesata dovrebbero dare valori identici o molto ravvicinati).
Sensibilità: il cambiamento di valore di uscita (output) della variabile a cui lo strumento risponde ad ogni cambiamento effettivo della stessa (esempio, una bilancia con precisione al grammo, se è sensibile, dovrebbe effettivamente modificare l’output di una unità per ogni 1 g in più o in meno posti sul piatto).